Question

18．如圖，$OC=90km，∠AOB=\frac{2π}{3}，∠OCD=θ$，點(diǎn)O處為一雷達(dá)站，測(cè)控范圍為一個(gè)圓形區(qū)域（含邊界），雷達(dá)開機(jī)時(shí)測(cè)控半徑r隨時(shí)間t變化函數(shù)為r=3t$\sqrt{t}$km，且半徑增大到81km時(shí)不再變化．一架無人偵察機(jī)從C點(diǎn)處開始沿CD方向飛行，其飛行速度為15km/min．
（Ⅰ） 當(dāng)無人偵察機(jī)在CD上飛行t分鐘至點(diǎn)E時(shí)，試用t和θ表示無人偵察機(jī)到O點(diǎn)的距離OE；
（Ⅱ）若無人偵察機(jī)在C點(diǎn)處雷達(dá)就開始開機(jī)，且θ=$\frac{π}{4}$，則雷達(dá)是否能測(cè)控到無人偵察機(jī)？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （I）在△OCE中，CE=15t，使用余弦定理表示出OE；
（II）令f（t）=OE²-r²，通過導(dǎo)數(shù)判斷f（t）的單調(diào)性計(jì)算f（t）的最小值，判斷OE與測(cè)控半徑r的大小關(guān)系．

解答 解：（I）在△OCE中，CE=15t，OC=90，
由余弦定理得OE²=OC²+CE²-2OC•CEcosθ=8100+225t²-2700tcosθ．
∴OE=$\sqrt{8100+225{t}^{2}-2700tcosθ}$．
（II）令f（t）=OE²-r²=225t²-1350$\sqrt{2}$t+8100-9t³，
令r=3t$\sqrt{t}$=81，解得t=9．∴0≤t≤9
∴f′（t）=-27t²+450t-1350$\sqrt{2}$=-27（t-$\frac{25}{3}$）²+1875-1350$\sqrt{2}$＜0．
∴f（t）在[0，9]上是減函數(shù)．
f（9）=225×9²-1350$\sqrt{2}$×9+8100-9×9³＞0．
∴當(dāng)0≤t≤9時(shí)，f（t）＞0，即OE＞r．
∴雷達(dá)不能測(cè)控到無人偵察機(jī)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用余弦定理解三角形的實(shí)際應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．