Question

6．如圖，四棱錐A-BCDE中，AB=BCC，BE=$\frac{1}{2}$CD．CD⊥面ABC，BE∥CD，F為AD的中點．
（1）求證：EF∥面ABC；
（2）求證：面ADE⊥面ACD．

Answer 1

分析 （1）取AC中點M，連結FM，BM，利用中位線定理和平行公理證明四邊形EFMB是平行四邊形，得出EF∥BM，故而EF∥平面ABC；
（2）由CD⊥平面ABC得CD⊥BM，由AB=BC得AC⊥BM，故BM⊥平面ACD，于是EF⊥平面ACD，故而平面ADE⊥平面ACD．

解答 證明：（1取AC中點M，連結FM，BM，
∵F，M分別是AD，AC的中點，
∴FM$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，∵BE$\stackrel{∥}{=}\frac{1}{2}CD$，
∴四邊形EFMB是平行四邊形，
∴EF∥BM，∵EF?平面ABC，BM?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．
（2）∵AB=BC，M是AC的中點，
∴BM⊥AC，
∵CD⊥平面ABC，BM?平面ABC，
∴CD⊥BM
又CD?平面ACD，AC?平面ACD，CD∩AC=C，
∴BM⊥平面ACD，∵EF∥BM，
∴EF⊥平面ACD，∵EF?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面ACD．

點評 本題考查了線面平行，面面垂直的判定，線面垂直的性質，構造平行線是解決問題的關鍵，屬于中檔題．