Question

19．函數(shù)f（x）=x-ln（x+1）+m，若函數(shù)y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x-2y+1-2ln2=0
（1）求實數(shù)m的值
（2）若對于任意的x∈（-1，0]，總有f（x）≥ax²，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得函數(shù)的定義域，求出f（x）的導數(shù)，可得切線的斜率和切點，求得切線的方程，由題意可得m=0；
（2）設g（x）=f（x）-ax²，則g（x）≥0在（-1，0]恒成立，求出g（x）的導數(shù)，討論a=0，a＜0，a＞$\frac{1}{2}$，0＜a≤$\frac{1}{2}$，運用單調(diào)性，求得最小值，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（-1，+∞）．
因為f′（x）=1-$\frac{1}{x+1}$，故f′（1）=$\frac{1}{2}$，
又因為切點為（1，1-ln2+m），
所以切線方程為y-（1-ln2+m）=$\frac{1}{2}$（x-1），
即x-2y+1-2ln2+2m=0．
由切線的方程可得2m=0，即m=0；
（2）設g（x）=f（x）-ax²，則g（x）≥0在（-1，0]恒成立，
g′（x）=1-$\frac{1}{x+1}$-2ax=$\frac{x（1-2a-2ax）}{1+x}$，
①若a=0，則g′（x）≤0在（-1，0]恒成立，g（x）在（-1，0]單調(diào)遞減，
g（x）_min=g（0）=0，g（x）≥0符合題意；
②若a≠0令g′（x）=0，解得x=0或x=$\frac{1-2a}{2a}$．
若a＜0，則$\frac{1-2a}{2a}$＜-1，則x∈（-1，0]時g′（x）≤0，g（x）在（-1，0]單調(diào)遞減，
因此g（x）_min=g（0）=0，g（x）≥0符合題意；
若a＞$\frac{1}{2}$，則-1＜$\frac{1-2a}{2a}$＜0，則x∈（-1，$\frac{1-2a}{2a}$]時g′（x）≤0，g（x）在（-1，$\frac{1-2a}{2a}$]單調(diào)遞減，
x∈（$\frac{1-2a}{2a}$，0]時g′（x）≥0，g（x）在（$\frac{1-2a}{2a}$，0]單調(diào)遞增，
因此g（x）_min＜g（0）=0，不符合題意．
若0＜a≤$\frac{1}{2}$，則$\frac{1-2a}{2a}$≥0，則x∈（-1，0]時g′（x）≤0，g（x）在（-1，0]單調(diào)遞減，
因此g（x）_min=g（0）=0，g（x）≥0符合題意；
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用轉化思想，構造函數(shù)法，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．