Question

9．某單位舉行聯(lián)歡活動，每名職工均有一次抽獎機會，每次抽獎都是從甲箱和乙箱中各隨機摸取1個球，已知甲箱中裝有3個紅球，5個綠球，乙箱中裝有3個紅球，3個綠球，2個黃球．在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲得一等獎；若都是綠球，則獲得二等獎；若只有1個紅球，則獲得三等獎；若1個綠球和1個黃球，則不獲獎．
（Ⅰ）求每名職工獲獎的概率；
（Ⅱ）設(shè)X為前3名職工抽獎中獲得一等獎和二等獎的次數(shù)之和，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)A表示“從甲箱中摸出1個綠球”，B表示“從乙箱中摸出1個黃球”，依題意，沒獲獎的事件為AB，先求出沒獲獎的概率，由此利用對立事件概率計算公式能求出每名職工獲獎的概率．
（Ⅱ）每名員工獲得一等獎或二等獎的概率為$\frac{3}{8}$，隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，則P（X=k）=${C}_{3}^{k}（\frac{3}{8}）^{k}（1-\frac{3}{8}）^{3-k}$，k=0，1，2，3，由此能求出X的分布列及E（X）．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)A表示“從甲箱中摸出1個綠球”，B表示“從乙箱中摸出1個黃球”，
依題意，沒獲獎的事件為AB，其概率為P（AB）=P（A）P（B）=$\frac{5}{8}×\frac{2}{8}$=$\frac{5}{32}$，
∴每名職工獲獎的概率p=1-P（AB）=1-$\frac{5}{32}$=$\frac{27}{32}$．
（Ⅱ）每名員工獲得一等獎或二等獎的概率為p=$\frac{3}{8}×\frac{3}{8}+\frac{5}{8}×\frac{3}{8}$=$\frac{3}{8}$，
隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，
則P（X=k）=${C}_{3}^{k}（\frac{3}{8}）^{k}（1-\frac{3}{8}）^{3-k}$，k=0，1，2，3，
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{5}{8}）^{3}$=$\frac{125}{512}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{3}{8}）（\frac{5}{8}）^{2}$=$\frac{225}{512}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{3}{8}）^{2}（\frac{5}{8}）$=$\frac{135}{512}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{3}{8}）^{3}$=$\frac{27}{512}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{125}{512}$	$\frac{225}{512}$	$\frac{135}{512}$	$\frac{27}{512}$

∴E（X）=$0×\frac{125}{512}+1×\frac{225}{512}+2×\frac{135}{512}+3×\frac{27}{512}$=$\frac{9}{8}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式的合理運用．