Question

設(shè)函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，對于任意的x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)的奇偶性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）令x=y=0，代入已知條件，即可求得結(jié)果；
（Ⅱ）令y=-x，代入已知條件由函數(shù)奇偶性的定義，即可判定函數(shù)的奇偶性．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x+y）=f（x）+f（y）對于任意x，y∈R都成立．
令x=y=0，則f（0）=f（0）+f（0）
解得f（0）=0；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)．
證明：令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)的有關(guān)問題，其中賦值法是常用的方法，考查函數(shù)的奇偶性的定義，屬基礎(chǔ)題．