Question

17．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期為4π，且對?x∈R，有f（x）≤f（$\frac{π}{3}$）成立，則f（x）的一個對稱中心坐標是（　�。�

• A． （-$\frac{2π}{3}$，0）
• B． （-$\frac{π}{3}$，0）
• C． （$\frac{2π}{3}$，0）
• D． （$\frac{5π}{3}$，0）

Answer 1

分析 由題意，利用周期公式可求$ω=\frac{1}{2}$．由f（x）≤f（$\frac{π}{3}$）恒成立，結(jié)合范圍|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求φ=$\frac{π}{3}$，令$\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}$=kπ（k∈Z），即可解得f（x）的對稱中心，即可得解．

解答 解：由f（x）=sin（ωx+φ）的最小正周期為4π，得$ω=\frac{1}{2}$．
因為f（x）≤f（$\frac{π}{3}$）恒成立，
所以f（x）${\;}_{max}=f（\frac{π}{3}）$，即$\frac{1}{2}×\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z），
由|φ|＜$\frac{π}{2}$，得φ=$\frac{π}{3}$，
故f（x）=sin（$\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}$）．
令$\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}$=kπ（k∈Z），得x=2kπ-$\frac{2π}{3}$，（k∈Z），
故f（x）的對稱中心為（2kπ-$\frac{2π}{3}$，0）（k∈Z），
當k=0時，f（x）的對稱中心為（-$\frac{2π}{3}$，0），
故選：A．

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于中檔題．