Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足：a_n+a_n+1=2a_n+2，且a₁=1，a₂=2，n∈N^*．
（Ⅰ）設(shè)b_n=a_n+1-a_n，證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過a_n+a_n+1=2a_n+2與a_n+1+a_n+2=2a_n+3作差、整理可知${b_{n+1}}=-\frac{1}{2}{b_n}$，進(jìn)而可知數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1、公比為$-\frac{1}{2}$的等比數(shù)列；
（Ⅱ）通過（Ⅰ）知${b_n}={（{-\frac{1}{2}}）^{n-1}}$，進(jìn)而利用累加法計(jì)算可得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：∵a_n+a_n+1=2a_n+2，
∴a_n+1+a_n+2=2a_n+3，
兩式相減得：（a_n+2-a_n+1）=$-\frac{1}{2}$（a_n+1-a_n），即${b_{n+1}}=-\frac{1}{2}{b_n}$，
又∵b₁=a₂-a₁=1，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1、公比為$-\frac{1}{2}$的等比數(shù)列；
（Ⅱ）解：根據(jù)（Ⅰ）知，${b_n}={（{-\frac{1}{2}}）^{n-1}}$，
即${a_n}-{a_{n-1}}={（{-\frac{1}{2}}）^{n-2}}$，${a_{n-1}}-{a_{n-2}}={（{-\frac{1}{2}}）^{n-3}}$，…，${a_3}-{a_2}=（{-\frac{1}{2}}）$，${a_2}-{a_1}={（{-\frac{1}{2}}）^0}$，
把上面n-1個式子相加得：${a_n}-{a_1}={（{-\frac{1}{2}}）^{n-2}}+{（{-\frac{1}{2}}）^{n-3}}+…+（{-\frac{1}{2}}）+1=\frac{{1-{{（{-\frac{1}{2}}）}^{n-1}}}}{{1+\frac{1}{2}}}$，
即${a_n}=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}{（{-\frac{1}{2}}）^{n-1}}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．