Question

8．已知函數(shù)f（x）的定義域為D，若函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x）存在且連續(xù)且x₀為y=f′（x）的極值點；則稱點（x₀，f（x₀））是函數(shù)f（x）的拐點．則下列結論中正確的序號是①③．
①函數(shù)y=sinx的拐點為（kπ，0），k∈Z；
②函數(shù)f（x）=e^x-$\frac{1}{12}{x^4}$有且僅有兩個拐點；
③若函數(shù)f（x）=4xlnx+$\frac{1}{6}{x^3}+\frac{a+1}{2}{x^2}$有兩個拐點，則a＜-5；
④函數(shù)f（x）=xe^x的拐點為（x₀，f（x₀）），則存
在正數(shù)ε使f（x）在區(qū)間（x₀-ε，x₀）和區(qū)間（x₀，x₀+ε）上的增減性相反．

Answer 1

分析 根據(jù)拐點的定義，得到f″（x₀）=0，即x₀為函數(shù)的拐點，
對于①，求出即可判斷，
對于②利用數(shù)形結合的思想，得到函數(shù)只有一個拐點，
對于③利用拐點的定義，即可得到x²+（a+1）x+4=0，有兩個正根，求出a的范圍，即可判斷；
對于④判斷函數(shù)f（x）的單調性，求出函數(shù)的拐點，即可判斷．

解答 解：對于①，y=sinx，則y′=cosx，當x₀=kπ時，函數(shù)有極值點，f（kπ）=sin（kπ）=0，
故函數(shù)y=sinx的拐點為（kπ，0），k∈Z，故①正確，
對于②，f′（x）=e^x-$\frac{1}{3}$x³，f″（x）=e^x-x²，如圖所示，
當x=x₀時函數(shù)有極值點，并且只有一個，故函數(shù)f（x）=e^x-$\frac{1}{12}{x^4}$有且僅有一個拐點，故②錯誤；
對于③，函數(shù)f（x）=4xlnx+$\frac{1}{6}{x^3}+\frac{a+1}{2}{x^2}$有兩個拐點，則f′（x）=4（1+lnx）+$\frac{1}{2}$x²+（a+1）x，
則f″（x）=$\frac{4}{x}$+x+a+1=$\frac{{x}^{2}+（a+1）x+4}{x}$，
則f″（x）=0，即x²+（a+1）x+4=0，有兩個正根，$\left\{\begin{array}{l}{（a+1）^{2}-16＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=-（a+1）＞0}\end{array}\right.$，解得a＜-5，
故③正確；
對于④，f（x）=xe^x，則f′（x）=（1+x）e^x，f″（x）=（2+x）e^x，
當f″（x）=0時，即x=-2，函數(shù)f（x）有拐點，則拐點為（-2，-$\frac{2}{{e}^{2}}$）
因為當x＞-1時，函數(shù)f（x）單調遞增，當x＜-1時，函數(shù)單調遞減，
所以函數(shù)在（-2-ε，-2）的單調遞減，在區(qū)間（-2，-2+ε）上的單調性則不一定，故④錯誤；
故答案為：①③．

點評 本小題考查新定義，考查函數(shù)與導數(shù)等知識，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，考查計算能力，屬于中檔題．