Question

13．已知點P（2，0），圓C的圓心在直線x-y-5=0上且與y軸切于點M（0，-2），
（1）求圓C的方程；
（2）若直線l過點P且被圓C截得的弦長為4$\sqrt{2}$，求直線l的方程；
（3）設直線ax-y+1=0與圓C交于A，B兩點，過點P（2，0）的直線l₂垂直平分弦AB，這樣的實數(shù)a是否存在，若存在，求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設圓心坐標為C（a，b），由已知$\left\{\begin{array}{l}{a-b-5=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，由此能求出圓的方程．
（2）設直線l的斜率為k（k存在）則方程為y-0=k（x-2）．由弦長為$4\sqrt{2}$，故弦心距d=1，由此利用點到直線距離公式求出$k=-\frac{3}{4}$，從而求出直線方程，當l的斜率不存在時，l的方程為x=2也滿足條件．
（3）把直線ax-y+1=0代入圓C的方程，由△＞0，得a＜0，從而能求出不存在實數(shù)a，使得過點P（2，0）的直線l₂垂直平分弦AB．

解答 解：（1）∵圓C的圓心在直線x-y-5=0上且與y軸切于點M（0，-2），
∴設圓心坐標為C（a，b），則$\left\{\begin{array}{l}{a-b-5=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得a=3，b=-2，∴圓心C（3，-2），半徑r=|MC|=$\sqrt{（0-3）^{2}+（-2+2）^{2}}$=3，
故圓的方程為（x-3）²+（y+2）²=9
即x²+y²-6x+4y+4=0…（4分）
（2）∵點P（2，0），直線l過點P，
∴設直線l的斜率為k（k存在）則方程為y-0=k（x-2）．
又圓C的圓心為（3，-2），半徑r=3，
由弦長為$4\sqrt{2}$，故弦心距d=1…（5分）
由$\frac{{|{3k+2-2k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，解得$k=-\frac{3}{4}$．
所以直線方程為$y=-\frac{3}{4}（x-2）$，即 3x+4y-6=0．…（7分）
當l的斜率不存在時，l的方程為x=2，經驗證x=2也滿足條件．
故l的方程為3x+4y-6=0或x=2…（9分）
（3）把直線ax-y+1=0，即y=ax+1．代入圓C的方程，
消去y，整理得（a²+1）x²+6（a-1）x+9=0．
由于直線ax-y-1=0交圓C于A，B兩點，
故△=36（a-1）²-36（a²+1）＞0，即-2a＞0，解得a＜0．…（11分）
設符合條件的實數(shù)a存在，
由于l₂垂直平分弦AB，故圓心C（3，-2）必在l₂上．
所以l₂的斜率k_PC=-2，而${k_{AB}}=a=-\frac{1}{{{k_{PC}}}}$，所以$a=\frac{1}{2}$．
由于$\frac{1}{2}∉（-∞，0）$，
故不存在實數(shù)a，使得過點P（2，0）的直線l₂垂直平分弦AB．…（15分）

點評 本題考查圓的方程和直線方程的求法，考查滿足條件的實數(shù)a是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要注意圓的性質和直線方程的合理運用．