Question

17．已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，對角線A₁C=3，它的表面積是16，則它的體積是（　�。�

• A． 4
• B． $\frac{112}{27}$
• C． 4或$\frac{112}{27}$
• D． $\frac{112}{9}$

Answer 1

分析 設(shè)出棱錐的底面邊長與高，利用條件，列出方程求解即可．

解答 解：設(shè)正四棱柱底面邊長為a，高為：b，
正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，對角線A₁C=3，它的表面積是16，
可得：$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}+^{2}}=3$，…①，即2a²+b²=9
4ab+2a²=16…②，
消去常數(shù)項得7a²-18ab-8b² =0．
所以，a=2b 或a=$\frac{4b}{7}$代入上述②得：a=2，b=1．
或a=$\frac{4}{3}$，b=$\frac{7}{3}$．
因為V=a² •b，
所以V=4或V=$\frac{112}{27}$．
故選：C．

點評 本題考查幾何體的體積以及表面積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．