Question

18．若直線l：y=kx+m與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1交于E、F（不重合左右頂點），且EF為直徑的圓過雙曲線的右頂點D．證明：直線l過定點．

Answer 1

分析 設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂） 聯(lián)立y=kx+m與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，得（4k²-1）x²+8kmx+4（m²+1）=0，由△=（8km）²-4（4m²+4）（4k²-1）＞0，由此利用根的判別式、韋達定理結(jié)合已知條件能證明直線l的方程為y=k（x-$\frac{10}{3}$），過定點（$\frac{10}{3}$，0）．

解答 證明：設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
聯(lián)立y=kx+m與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，
得（4k²-1）x²+8kmx+4（m²+1）=0，
△=（8km）²-4（4m²+4）（4k²-1）＞0，
即4k²-m²-1＜0．
則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{4{k}^{2}-1}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}+4}{4{k}^{2}-1}}\end{array}\right.$，
又y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
∵以EF為直徑的圓過雙曲線C的右頂點D（2，0）
∴$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$=0，即（x₁-2，y₁）•（x₂-2，y₂）=0，
即有（1+k²）x₁x₂+（km-2）（x₁+x₂）+m²+4=0，
∴（k²+1）•$\frac{4{m}^{2}+4}{4{k}^{2}-1}$+（km-2）•$\frac{-8km}{4{k}^{2}-1}$+m²+4=0，
化簡，得3m²+16km+20k²=0，
∴m₁=-2k，m₂=-$\frac{10}{3}$，且均滿足4k²-m²-1＜0，
當(dāng)m₁=-2k時，直線l的方程為y=k（x-2），
直線過定點（2，0），與已知矛盾．
當(dāng)m₂=-$\frac{10}{3}$k時，直線l的方程為y=k（x-$\frac{10}{3}$），
過定點（$\frac{10}{3}$，0）．

點評 本題考查雙曲線的方程的運用和直線l過定點的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，聯(lián)立方程運用韋達定理，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．