Question

已知函數(shù)f（x）=xⁿ-

4

x

，且f（4）=3．
（1）求n的值，并判斷該函數(shù)的奇偶性；
（2）若不等式f（x）-a＞0在[1，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)的奇偶性的概念判斷，
（2）把不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函f（x）的最值問題解決，而求最值時利用函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵f（4）=3，
∴4n-

4

4

=3，則n=1.f(x)=x-

4

x

．函數(shù)的定義域為 （-∞，0）∪（0，+∞），
又∵f(-x)=-x-

4

-x

=-(x-

4

x

)=-f(x)，
∴函數(shù)f(x)=x-

4

x

是奇函數(shù)，
（2）∵函數(shù)y=x和y=-

1

x

在[1，+∞）上都是增函數(shù)，
∴函數(shù)f(x)=x-

4

x

在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）≥f（1）=-3．
不等式f（x）-a＞0在[1，+∞）上恒成立，即不等式a＜f（x）在[1，+∞）上恒成立．
∴a＜-3，
即a的取值范圍是（-∞，-3）．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性概念，含有參變量的不等式恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)求最值來解決，思路很容易想．