Question

已知點P是拋物線y²=2x上的動點，點P在y軸上的射影是M，點A(

7

2

，4)，則|PA|+|PM|的最小值是（　　）

• A、5
• B、

  9

  2

• C、4
• D、AD

Answer 1

分析：先根據(jù)拋物線的方程求得焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，延長PM交準(zhǔn)線于H點推斷出|PA|=|PH|，進而表示出|PM|，問題轉(zhuǎn)化為求PF|+|PA|的最小值，由三角形兩邊長大于第三邊可知，|PF|+|PA|≥|FA|，直線FA與 拋物線交于P₀點，可得P₀，分析出當(dāng)P重合于P₀時，|PF|+|PA|可取得最小值，進而求得|FA|，則|PA|+|PM|的最小值可得．

解答：解：依題意可知焦點F（

1

2

，0），準(zhǔn)線 x=-

1

2

，延長PM交準(zhǔn)線于H點．則|PF|=|PH|
|PM|=|PH|-

1

2

=|PA|-

1

2

|PM|+|PA|=|PF|+|PA|-

1

2

，我們只有求出|PF|+|PA|最小值即可．
由三角形兩邊長大于第三邊可知，|PF|+|PA|≥|FA|，①
設(shè)直線FA與 拋物線交于P₀點，可計算得P₀ （3，

9

4

），另一交點（-

1

3

，

1

18

）舍去．
當(dāng)P重合于P₀時，|PF|+|PA|可取得最小值，可得|FA|=

19

4

．
則所求為|PM|+|PA|=

19

4

-

1

4

=

9

2

．
故選B．

點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．考查了考生分析問題的能力，數(shù)形結(jié)合的思想的運用．