Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn ， 若點(diǎn)An（n， ）在函數(shù)f（x）=﹣x+c的圖像上運(yùn)動(dòng)，其中c是與x無(wú)關(guān)的常數(shù)且a1=3．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=tanan+1tanan ， tan195+tan3=atan2，求數(shù)列{bn}的前99項(xiàng)和（用含a的式子表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點(diǎn)An（n， ）在函數(shù)f（x）=﹣x+c的圖像上運(yùn)動(dòng)，∴ =﹣n+c，∴Sn=﹣n2+cn，

∵c是與x無(wú)關(guān)的常數(shù)且a1=3．∴3=﹣1+c，解答c=4．

∴Sn=﹣n2+4n．

∴n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣n2+4n﹣[﹣（n﹣1）2+4（n﹣1）]=﹣2n+5，n=1時(shí)也成立

（2）解：∵tan（an+1﹣an）= ，∴bn=tanan+1tanan= ﹣1=﹣ ﹣1．

∴數(shù)列{bn}的前99項(xiàng)和T99=﹣ +（tana99﹣tana98）+…+（tana2﹣tana1）]﹣99

=﹣ ﹣99

=a﹣99

【解析】（1）由點(diǎn)An（n， ）在函數(shù)f（x）=﹣x+c的圖像上運(yùn)動(dòng)，可得 =﹣n+c，即Sn=﹣n2+cn，由于c是與x無(wú)關(guān)的常數(shù)且a1=3．代入可得c，再利用遞推關(guān)系即可得出．（II）由tan（an+1﹣an）= ，可得bn=tanan+1tanan=﹣ ﹣1．即可得出．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．