Question

4．設(shè)關(guān)于x的一元二次方程a_nx²-a_n+1x+1=0（n∈N^*）有兩根α和β，滿足α+β-αβ=2，且a₁=1
（1）試a_n用表示a_n+1；    
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）通過韋達(dá)定理可知$α+β=\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$、$αβ=\frac{1}{a_n}$，利用α+β-αβ=2化簡即得結(jié)論；
（2）通過對(duì)a_n+1=2a_n+1變形可知數(shù)列{a_n+1}是以首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵α、β是a_nx²-a_n+1x+1=0（n∈N^*）的兩根，
∴$α+β=\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$，$αβ=\frac{1}{a_n}$，
又∵α+β-αβ=2，
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}-\frac{1}{a_n}=2$，
∴a_n+1-1=2a_n，
∴a_n+1=2a_n+1；
（2）∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又∵a₁=1，a₁+1=2，
∴數(shù)列{a_n+1}是以首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，
∴${a_n}+1=2×{2^{n-1}}$，
∴${a_n}={2^n}-1（n∈{N^*}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，涉及韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．