Question

12．已知數(shù)列{a_n}前n項和S_n=$\frac{1}{2}$n（n+1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=2ⁿ，求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）運用數(shù)列的通項和前n項和的關(guān)系：n=1時，a₁=S₁，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可得到所求通項公式；
（2）運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求．

解答 解：（1）n=1時，a₁=S₁=1；
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$n（n+1）-[$\frac{1}{2}$（n-1）n]=n．
而n=1時，也滿足該通項．
故綜上可知：a_n=n；
（2）T_n=2+2•2²+…+n•2ⁿ
2T_n=2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n2ⁿ⁺¹，
兩式相減得：
-T_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹．
即-T_n=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹．
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

點評 本題考查數(shù)列的通項和前n項和的關(guān)系，同時考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，以及等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．