Question

4．已知集合A={x|3≤3^x≤27}，B={x|log₂x＞1}．
（1）求A∩（∁_RB）；
（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C∩A=C，求實數(shù)a的取值集合．

Answer 1

分析 （1）由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別求出集合A、B，由補集的運算求出∁_RB，由交集的運算求出A∩（∁_RB）；
（2）由C∩A=C得C⊆A，根據(jù)條件對a分類討論，分別由子集的定義求出a的范圍，最后并在一起求出實數(shù)a的取值集合．

解答 解：（1）集合A={x|3≤3^x≤27}={x|3≤3^x≤3³}={x|1≤x≤3}，
B={x|log₂x＞1}={x|log₂x＞${log}_{2}^{2}$}={x|x＞2}，
∴∁_RB={x|x≤2}，
∴A∩（∁_RB）={x|1≤x≤2}；
（2）∵C∩A=C，∴C⊆A，
①當(dāng)a≤1時，C=∅，此時C⊆A；
②當(dāng)a＞1時，集合C={x|1＜x＜a}，C⊆A，
則1＜a≤3，
綜上可得，實數(shù)a的取值集合是（-∞，3]．

點評 本題考查交、并、補集的混合運算，子集的定義，以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想．