Question

3．橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，橢圓上的點(diǎn)P滿足|PF₁|-|PF₂|=2，則△PF₁F₂的面積為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 |PF₁|-|PF₂|=2，又|PF₁|+|PF₂|=4，聯(lián)立解得|PF₁|，|PF₂，在△PF₁F₂中，由余弦定理可得：cos∠F₁PF₂，進(jìn)而得到sin∠F₁PF₂=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．利用△PF₁F₂的面積=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|sin∠F₁PF₂即可得出．

解答 解：∵|PF₁|-|PF₂|=2，又|PF₁|+|PF₂|=4，
聯(lián)立解得|PF₁|=3，|PF₂|=1，
在△PF₁F₂中，由余弦定理可得：cos∠F₁PF₂=$\frac{{3}^{2}+{1}^{1}-（2\sqrt{2}）^{2}}{2×3×1}$=$\frac{1}{3}$，
∴∠F₁PF₂為銳角，
∴sin∠F₁PF₂=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴△PF₁F₂的面積=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|sin∠F₁PF₂=$\frac{1}{2}×3×1$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、余弦定理、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．