Question

8．已知函數(shù)f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線與直線x+y-6=0垂直，則切點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得e${\;}^{{x}_{0}}$-x₀=1，設(shè)g（x）=e^x-x-1，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，和最值，即可得到切點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x-x，
可得在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線斜率為k=e${\;}^{{x}_{0}}$-x₀，
由切線與直線x+y-6=0垂直，可得
e${\;}^{{x}_{0}}$-x₀=1，
設(shè)g（x）=e^x-x-1，導(dǎo)數(shù)為g′（x）=e^x-1，
當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增；
當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減．
則g（x）在x=0處取得極小值，且為最小值0．
即有e${\;}^{{x}_{0}}$-x₀=1的解為x₀=0，
f（x₀）=e⁰-0=1．
則切點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）．
故答案為：（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，同時(shí)考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．