Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=-f（-x），且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的解析式；
（Ⅱ）求滿足f（2-x²）＜f（x）的實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,其他不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先判斷f（x）是奇函數(shù)，再根據(jù)奇偶性求出x＜0時(shí)f（x）的解析式；
（Ⅱ）先判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式f（2-x²）＜f（x），求出解集．

解答： 解：（Ⅰ）由于f（x）=-f（-x），知f（x）是奇函數(shù)，
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
∴f（-x）=（-x）²+2（-x），
 即-f（-x）=x²-2x，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-x²+2x；…（6分）
（Ⅱ）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²+2x；
∵當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）=2x+2＞0，
∴f（x）在（0，+∞） 是增函數(shù)；
又∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，+∞）是增函數(shù)；
又∵f（2-x²）＜f（x），
∴2-x²＜x，
解得x＜-2或x＞1；
∴滿足f（2-x²）＜f（x）的實(shí)數(shù)x的取值范圍是
（-∞，-2）∪（1，+∞）．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用問題，也考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，是綜合題目．