Question

17．若關(guān)于x的方程x²+4xsinθ+atanθ=0（$\frac{π}{12}$＜θ＜$\frac{π}{3}$）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）當(dāng)a=$\frac{7}{4}$時(shí)，求sin（$\frac{π}{4}$+θ）的值．

Answer 1

分析 （1）由根的判別式得16sin²θ=4a•$\frac{sinθ}{cosθ}$，從而a=4sinθcosθ=2sin2θ，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）a=$\frac{7}{4}$時(shí)，sin2θ=$\frac{a}{2}$=$\frac{7}{8}$，由正弦加法公式及同角三角函數(shù)關(guān)系式能求出sin（$\frac{π}{4}+θ$）．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的方程x²+4xsinθ+atanθ=0（$\frac{π}{12}$＜θ＜$\frac{π}{3}$）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=16sin²θ-4atanθ=0，
∴16sin²θ=4a•$\frac{sinθ}{cosθ}$，∴a=4sinθcosθ=2sin2θ，
∵$\frac{π}{12}$＜θ＜$\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{6}＜2θ＜\frac{2π}{3}$，
∴1＜2sin2θ＜2．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，2）．
（2）a=$\frac{7}{4}$時(shí)，sin2θ=$\frac{a}{2}$=$\frac{7}{8}$，
sin（$\frac{π}{4}+θ$）=sin$\frac{π}{4}$cosθ+cos$\frac{π}{4}$sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}（sinθ+cosθ）$，
∴$si{n}^{2}（\frac{π}{4}+θ）=\frac{1}{2}（1+2sinθ）$=$\frac{1}{2}×（1+\frac{7}{8}）$=$\frac{15}{16}$，
∵$\frac{π}{12}$＜θ＜$\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{3}＜\frac{π}{4}+θ＜\frac{7π}{12}$，
∴sin（$\frac{π}{4}+θ$）=$\sqrt{\frac{15}{16}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查正弦函數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意根的判別式、正弦加法公式及同角三角函數(shù)關(guān)系式的合理運(yùn)用．