Question

11．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC⊥平面BDE．
（I）證明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=1，AD=2，求點(diǎn)B到平面PCD的距離．

Answer 1

分析 （I）利用線面垂直的性質(zhì)定理可得PA⊥BD，PC⊥BD，再利用線面垂直的判定定理即可證明．
（II）由于AB∥CD，只要求出點(diǎn)A到平面PCD的距離即可，利用線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理即可得出．

解答 （I）證明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，
∵點(diǎn)E在線段PC上，PC⊥平面BDE．
∴PC⊥BD，又PC∩PA=P，
∴BD⊥平面PAC；
（II）解：∵AB∥CD，AB?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AB∥平面 PCD．
∴只要求出點(diǎn)A到平面PCD的距離即可．
過A作AM⊥PD，垂足為M．
∵PA⊥平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD，
∵CD⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AM，
CD∩PD=D，
∴AM⊥平面ACD，
∵AM=$\frac{PA•AD}{PD}$=$\frac{1×2}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴點(diǎn)B到平面PCD的距離是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了空間位置關(guān)系及其距離，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．