(1)可以通過證明
即可。
(II)先找出二面角C-AE-D的平面角∠CDF,即∠CDF=
.直線BE與平面ABCD所成的角
,即
=
.然后再根據(jù)
建立關(guān)于
的方程,解出
的值。
解:Ⅰ)證法1:如圖1,連接BE、BD,
由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD。
SD⊥平面ABCD,
BD是BE在平面ABCD上的射影,
AC⊥BE ------3分
(Ⅱ)如圖1,
由SD⊥平面ABCD知,∠DBE=
,
SD⊥平面ABCD,CD
平面ABCD,
SD⊥CD。
又底面ABCD是正方形,
CD⊥AD,而SD
AD=D,CD⊥平面SAD.
連接AE、CE,過點D在平面SAD內(nèi)作DE⊥AE于F,連接CF,則CF⊥AE,
故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角,即∠CDF=
。 ------------------5分
在Rt△BDE中,
BD=2a,DE=
在Rt△ADE中,
從而
在
中,
--7分
由
,得
.
由
,解得
,即為所求. ---------------------------------9分
(1)證法2:以D為原點,
的方向分別作為x,y,z軸的正方向建立如
圖2所示的空間直角坐標(biāo)系,
則:D(0,0,0),A(
,0,0),B(
,
,0),C(0,
,0),E(0,0
),---------2分
, 即
。 ---------3分
解法2:
由(I)得
.
設(shè)平面ACE的法向量為n=(x,y,z),則由
得
。--------------------5分
易知平面ABCD與平面ADE的一個法向量分別為
.
-------------7分
0<
,
,
=1
由于
,解得
,即為所求。--------------------9分