Question

已知函數(shù)f（x）=（ax²+bx+c）e^x（a＞0）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的兩個(gè)零點(diǎn)為-3和0．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）的極小值為-1，求f（x）的極大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f'（x）=[ax²+（2a+b）x+b+c]e^x．令g（x）=ax²+（2a+b）x+b+c，簡(jiǎn)化運(yùn)算；
（Ⅱ）由f（x）的極小值為-1確定參數(shù)值，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求極大值．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=（2ax+b）e^x+（ax²+bx+c）e^x=[ax²+（2a+b）x+b+c]e^x．
令g（x）=ax²+（2a+b）x+b+c，
∵e^x＞0，
∴y=f'（x）的零點(diǎn)就是g（x）=ax²+（2a+b）x+b+c的零點(diǎn)，且f'（x）與g（x）符號(hào)相同．
又∵a＞0，
∴當(dāng)x＜-3，或x＞0時(shí)，g（x）＞0，即f'（x）＞0，
當(dāng)-3＜x＜0時(shí)，g（x）＜0，即f'（x）＜0，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-3），（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（-3，0）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x=0是f（x）的極小值點(diǎn)，
所以有

c=-1 b+c=0 9a-3(2a+b)+b+c=0

解得a=1，b=1，c=-1．  
所以函數(shù)的解析式為f（x）=（x²+x-1）e^x．
又由（Ⅰ）知，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-3），（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（-3，0）．
所以，函數(shù)f（x）的極大值為f(-3)=(9-3-1)e-3=

5

e3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．