Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²，{b_n}為等比數(shù)列，且a₁=b₁，b₁（a₂-a₁）=b₂，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=

an

2bn

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，a₂=S₂-S₁得到a_n的通項(xiàng)公式，得到即可；因?yàn)閎₁=a₁=1，并且b₁（a₂-a₁）=b₂即可解出q，然后得到通項(xiàng)；
（Ⅱ）利用錯(cuò)位相減法，可求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由S_n=n²得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
∵a₁=S₁=1，a₂=S₂-S₁=3，
∴d=2，
∴a_n=2n-1，
∵b₁=1，b₁（a₂-a₁）=b₂=2
∴b_n=2^n-1；
（Ⅱ）cn=

an

2bn

=

2n-1

2×2n-1

=

2n-1

2n

，
∴T_n=

1

2

+

3

22

+…+

2n-1

2n

，

1

2

T_n=

1

22

+

3

23

+…+

2n-1

2n+1

上式相減，整理得：T_n=3-

2n+3

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，屬于中檔題．