Question

對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x）和區(qū)間D，如果存在唯一x₀∈D，使|f（x₀）-g（x₀）|≤2，則稱函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間D上的“友好函數(shù)”．現(xiàn)給出兩個(gè)函數(shù)：
①f（x）=x²，g（x）=2x-4；     
②f（x）=2

x

，g（x）=x+3；
③f（x）=e^-x，g（x）=-

1

x

；   
④f（x）=lnx，g（x）=x+1，
則函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，+∞）上為“友好函數(shù)”的是

 

．（填正確的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對(duì)照新定義，利用配方法、導(dǎo)數(shù)法可確定函數(shù)的值域，由此，就可以得出結(jié)論．

解答： 解：對(duì)于①，f（x）-g（x）=x²-2x+4=（x-1）²+3≥3，
∴不存在x₀∈（0，+∞），使|f（x₀）-g（x₀）|≤2，∴①不是“友好函數(shù)”；
對(duì)于②，g（x）-f（x）=x-2

x

+3=（

x

-1）²+2≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，|g（x）-f（x）|≤2．∴②是“友好函數(shù)”；
對(duì)于③，h（x）=f（x）-g（x）=e^-x+

1

x

，
h′（x）=-e^-x-

1

x2

＜0，
∴函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)減，
∴x→0，h（x）→+∞，x→+∞，h（x）→0，
使|f（x₀）-g（x₀）|≤2的x₀不唯一，∴③不是“友好函數(shù)”；
對(duì)于④，h（x）=g（x）-f（x）=x-lnx+1（x＞0），
h′（x）=1-

1

x

，
令h′（x）＞0，可得x＞1，令h′（x）＜0，可得0＜x＜1，
∴x=1時(shí)，函數(shù)取得極小值，且為最小值，最小值為h（1）=2，
∴g（x）-f（x）≥2，
使|f（x₀）-g（x₀）|≤2的x₀唯一，∴④是“友好函數(shù)”．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查“友好函數(shù)”的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．