Question

已知函數f（x）=x+

a

x

，且其函數圖象經過點（1，2）
（1）求實數a的值；
（2）判斷函數在（0，a]和（1，+∞）的單調性，并說明理由．

Answer 1

考點：函數的圖象,函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：把點（1，2）的坐標代入f（x）=x+

a

x

，求出a．對函數f（x）求導，利用導數判斷函數的單調性．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=x+

a

x

，且其函數圖象經過點（1，2），∴f（1）=2，
∴1+

a

1

=2，∴a=1．
（2）∵a=1，∴f(x)=x+

1

x

∴f′（x）=1-

1

x2

=

x2-1

x2

=

(x+1)(x-1)

x2

，
令f′（x）=0得x=-1，或x=1
由f′（x）＞0得x＜-1或x＞1，由f′（x）＜0得-1＜x＜1，
∴在x∈（0，1]時f′（x）＜0，在x∈（1，+∞）時f′（x）＞0，
∴在f（x）在（0，1]上單調遞增減，在（1，+∞）上單調遞增．

點評：本題主要考查利用導數研究函數單調性，屬于中檔題．