Question

13．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a_n+1=2a_n（n∈N^*）且a₂是S₂與1的等差中項．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式：
（Ⅱ）若數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和為T_n，且對?n∈N^*，T_n＜λ恒成立．求實數(shù)λ的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a₂是S₂與1的等差中項列式求出首項，則{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列．由等比數(shù)列的通項公式得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：$\frac{1}{{a}_{n}}=（\frac{1}{2}）^{n-1}$，說明數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和為T_n可求，結合T_n＜λ恒成立求得實數(shù)λ的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n（n∈N^*），
∴S₂=a₁+a₂=a₁+2a₁=3a₁，
則4a₁=3a₁+1，a₁=1．
∴{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列．
∴${a}_{n}=1×{2}^{n-1}={2}^{n-1}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：$\frac{1}{{a}_{n}}=（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}=1$，$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{2}•\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列．
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和為T_n=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}=2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$．
∵$\frac{1}{{2}^{n}}＞0$，∴${T}_{n}=2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）＜2$．
∴對任意n∈N^*，T_n＜λ恒成立，則λ≥2．
∴實數(shù)λ的最小值為2．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式，考查了等差數(shù)列的性質，考查了等比數(shù)列的前n項和，是中檔題．