Question

設(shè)a₁，a₂，…，a_n為正整數(shù)，其中至少有五個(gè)不同值，若對(duì)任意的i，j（1≤i＜j≤n），存在k，l（k≠l，且異于i與j）使得a_i+a_j=a_k+a_l，則n的最小值為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：根據(jù)題意，設(shè)a₁，a₂，a_n為正整數(shù)，其中至少有五個(gè)不同值．若對(duì)于任意的i，j（1≤i＜j≤n），存在k，l（k≠l，且異于i與j）使得a_i+a_j=a_k+a_l，那么對(duì)于n至少大于等于5，那么對(duì)于n從6開(kāi)始，逐一的驗(yàn)證可知，那么最小的n為13．

解答： 解：首先將這n個(gè)數(shù)從小到大排序，仍記為a1，a2，…an且a₁≤a₂≤…≤a₁．
考慮n的最小值．首先這個(gè)數(shù)列的最大最小值數(shù)的個(gè)數(shù)必不少于4．
比如取i=n-1，j=n，要存在k，l使得ai+aj=ak+al，
由于其他數(shù)都小于等于ai，且a_i≤a_j，
必有a_i=a_j=a_k=a_l，即至少有4個(gè)最大值，
同理必有4個(gè)最小值，再考慮中間的數(shù)．第二小的數(shù)至少有兩個(gè)，
比如取最小的數(shù)和第二小的數(shù)，一定要存在k，l使得他們倆的和要等于第一小和第二小的數(shù)之和，
那么這兩個(gè)數(shù)必也為最小的和第二小的數(shù)．
這樣必有兩個(gè)第二小的數(shù)，
同理第二大的數(shù)也至少有兩個(gè)，由于至少有5個(gè)不同的值，
那么這樣n的最小值即為4+2+1+2+4=13．
故答案為：13

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用，解決的關(guān)鍵是理解任意和存在的含義，并能對(duì)于n令值來(lái)分析推導(dǎo)得到結(jié)論，難度較大．