Question

已知命題p：“函數(shù)f（x）=ax²-4x（a＞0）在（-∞，2]上單調遞減”，命題q：“對任意的實數(shù)x，16x²-16（a-1）x+1＞0恒成立”，若命題“p且q”為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：本題的關鍵是給出命題p：“函數(shù)f（x）=ax²-4x（a＞0）在（-∞，2]上單調遞減”，命題q：“對任意的實數(shù)x，16x²-16（a-1）x+1＞0恒成立”，為真時a的取值范圍

解答： 解：∵命題p：“函數(shù)f（x）=ax²-4x（a＞0）在（-∞，2]上單調遞減
∴若p為真，那么當a＞0時，只需對稱軸x=-

-4

2a

=

2

a

在區(qū)間（-∞，2]的右側，
即 

2

a

≥2
∴0＜a≤1
又∵命題q：“對任意的實數(shù)x，16x²-16（a-1）x+1＞0恒成立
∴若q為真，那么命題等價于：方程16x²-16（a-1）x+1=0無實根．
∴△=[16（a-1）]²-4×16＜0
∴

1

2

＜a＜

3

2

∵命題“p且q”為真命題
∴p真，q真
∴

0＜a≤1 1 2 ＜a＜ 3 2

∴實數(shù)a的取值范圍：

1

2

＜a≤1

點評：本題考查的知識點是復合命題的真假判定，解決的辦法是先判斷組成復合命題的簡單命題的真假，再根據(jù)真值表進行判斷．