Question

函數(shù)的性質(zhì)通常指函數(shù)的定義域、值域、周期性、單調(diào)性、奇偶性等，請選擇適當?shù)奶骄宽樞�，研究函�?shù)f（x）=

1-sinx

+

1+sinx

的性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上，作出其在[-π，π]的草圖．

Answer 1

分析：本題研究的順序為：先研究定義域、奇偶性、周期性，再研究函數(shù)的單調(diào)性、值域，最后畫出圖形．

解答：解：①∵

1-sinx≥0 1+sinx≥0

∴f（x）的定義域為R；（2分）
②∵f(-x)=

1-sin(-x)

+

1+sin(-x)

=

1+sinx

+

1-sinx

=f(x)，
∴f（x）為偶函數(shù)；（4分）
③∵f（x+π）=

1-sin(x+π)?

+

1+sin(x+π)?

=

1-sinx

+

1+sinx

=f（x），
∴f（x）是周期為π的周期函數(shù)；（6分）
④當x∈[0，

π

2

]時，f（x）=

( 1-sinx + 1+sinx )2

=

2+2|cosx|

=2cos

x

2

，
∴當x∈[0，

π

2

]時，f（x）單調(diào)遞減；當x∈[

π

2

，π]時，
f（x）=

( 1-sinx + 1+sinx )2

=

2+2|cosx|

=

2-2cosx

=2sin

x

2

，
f（x）單調(diào)遞增；又∵f（x）是周期為π的偶函數(shù)，
∴f（x）在[kπ+

π

2

，kπ+π]上單調(diào)遞增，在[kπ，kπ+

π

2

]上單調(diào)遞減（k∈Z）；（8分）
⑤∵當x∈[0，

π

2

]時，f(x)=2cos

x

2

∈[

2

，2]；
當x∈[

π

2

，π]時，f(x)=2sin

x

2

∈[

2

，2]．
∴f（x）的值域為[

2

，2]；（10分）
⑥由以上性質(zhì)可得：f（x）在[-π，π]上的圖象如圖所示：

（12分）

點評：本題考查二倍角公式的應用，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及y=Asin（ωx+φ）的圖象及性質(zhì)．