Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+2x-m，函數(shù)g（x）=

f(x)

x

+log₂

1-x

1+x

-2．且當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）≥0恒成立，
（1）當(dāng)m=3時(shí)，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）求m的最大值；
（3）當(dāng)m取最大值時(shí)，判斷g（x）的奇偶性并給予證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)m=3時(shí)，求根據(jù)一元二次不等式的解法即可求不等式f（x）≥0的解集；
（2）根據(jù)不等式恒成立即可求m的最大值；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷g（x）的奇偶性．

解答： 解：（1）當(dāng)m=3時(shí)，由f（x）=x²+2x-3≥0，
解得x≤-3或x≥1，
故不等式f（x）≥0的解集為{x|x≤-3或x≥1}．
（2）配方得，f（x）=（x+1）²-m-1，
∵x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）≥0恒成立，
即（x+1）²-m-1≥0恒成立，
∴m≤（x+1）²-1
令g（x）=（x+1）²-1，對(duì)稱軸為x=-1，
則g(x)min=g(1)=(1+1)2-1=3，
∴m≤3，故m的最大值為3．
（3）由（2）知，f（x）=x²+2x-3，g(x)=

x2+2x-3

x

+log2

1-x

1+x

-2
由

x≠0 1-x 1+x ＞0

解得x∈（-1，0）∪（0，1），
故g（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
又g(x)=x-

3

x

+2+log2

1-x

1+x

-2=x-

3

x

+log2

1-x

1+x

，g(-x)=-x-

3

-x

+log2

1+x

1-x

=-(x-

3

x

+log2

1-x

1+x

)
∴g（-x）=-g（x）
故g（x）是奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的求解以及函數(shù)奇偶性的判斷，以及不等式恒成立問題，綜合性較強(qiáng)．