Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，且，求的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，證明：為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）求出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式寫出直線方程；

（2）分析函數(shù)的單調(diào)性，只有當(dāng)函數(shù)不單調(diào)時(shí)，函數(shù)圖象才可能與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，然后再利用零點(diǎn)存在定理證明兩個(gè)不同交點(diǎn)的存在性；

（3）由（2）得，相減得，用表示，通過研究單調(diào)性可得，再根據(jù)單調(diào)遞增，可得，從而得證.

解：（1）當(dāng)時(shí)，，

則， ，

，

所以在點(diǎn)處的切線方程為，即.

（2）因?yàn)?/span>，

所以，

若時(shí)，則，則函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，與x軸最多一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意；

若時(shí)，令，則，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是單調(diào)遞增，

于是當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，

因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，

所以，即，

此時(shí)存在，，

存在，

，

故由在及上的單調(diào)性及曲線連續(xù)性可得，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn).

（3）由（2）得，

兩式相減得，，

解得：，

令，

則，

設(shè)

則，

所以在上單調(diào)遞減，

則有，而，

所以，

由（2）知，均為正數(shù)，

所以有，

因?yàn)?/span>單調(diào)遞增，

所以，

所以，

故.