Question

【題目】已知曲線上動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是常數，若過的動直線與曲線相交于兩點

（1）說明曲線的形狀，并寫出其標準方程；

（2）是否存在與點不同的定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）曲線是橢圓，它的標準方程為；（2）存在點滿足題意

【解析】

（1）先設動點坐標為，根據題意列出等式，化簡整理即可求出結果；

（2）分情況討論如下：當直線與軸垂直時，易得點必在軸上.；當直線與軸垂直時，易得點的坐標只可能是；再證明直線斜率存在且時均有即可.

（1）設動點坐標為

點到直線的距離為．依題意可知

則

化簡得

所以曲線是橢圓，它的標準方程為

（2）①當直線與軸垂直時，由橢圓的對稱性可知，又因為,則

從而點必在軸上.

②當直線與軸垂直時，則，由①可設，

由得，解得（舍去），或．

則點的坐標只可能是．

下面只需證明直線斜率存在且時均有即可.

設直線的方程為，代入得.

設

所以

設點關于軸對稱的點坐標

因為直線的斜率

同理得直線的斜率

，三點共線.

故.

所以存在點滿足題意．