Question

20．證明：函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x在其定義域內(nèi)為減函數(shù)．

Answer 1

分析 可用減函數(shù)的定義證明該函數(shù)為減函數(shù)：定義域顯然為R，在定義域內(nèi)設(shè)任意的x₁＜x₂，然后作差，進行分子有理化及提取公因式x₁-x₂，證明f（x₁）＞f（x₂）即可得出該函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)．

解答 證明：該函數(shù)的定義域為R，設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}-{x}_{1}-\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}+{x}_{2}$=$（\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}-\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}）+（{x}_{2}-{x}_{1}）$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）•\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}-\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}+\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}$；
${x}_{1}+{x}_{2}-\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}-\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}$=$（{x}_{1}-\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}）+（{x}_{2}-\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}）$＜0；
∵x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0；
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）•\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}-\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}+\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}＞0$；
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴該函數(shù)在其定義域內(nèi)為減函數(shù)．

點評 考查減函數(shù)的定義，以及根據(jù)減函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為減函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁）與f（x₂），作差后一般提取公因式x₁-x₂，以及分子有理化的方法．