Question

11．在△ABC中，AC=6，BC=7，cosA=$\frac{1}{5}$，O是△ABC的內(nèi)心，若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，其中x，y∈[0，1]，則動點P的軌跡所覆蓋圖形的面積為（　　）

• A． $\frac{10\sqrt{6}}{3}$
• B． $\frac{14\sqrt{6}}{3}$
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 6$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 畫出圖形，由已知條件便知P點在以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形內(nèi)，從而所求面積為2倍的△AOB的面積，從而需求S_△AOB：由余弦定理可以求出AB的長為5，根據(jù)O為△ABC的內(nèi)心，從而O到△ABC三邊的距離相等，從而${S}_{△AOB}=\frac{5}{5+6+7}•{S}_{△ABC}$，由面積公式可以求出△ABC的面積，從而求出△AOB的面積，這樣2S_△AOB便是所求的面積．

解答 解：如圖，根據(jù)題意知，P點在以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形內(nèi)部，∴動點P的軌跡所覆蓋圖形的面積為2S_△AOB；
在△ABC中，cos$∠BAC=\frac{1}{5}$，AC=6，BC=7；
∴由余弦定理得，$\frac{1}{5}=\frac{A{B}^{2}+36-49}{2AB•6}$；
解得：AB=5，或AB=$-\frac{13}{5}$（舍去）；
又O為△ABC的內(nèi)心；
∴${S}_{△AOB}=\frac{5}{5+6+7}•{S}_{△ABC}$=$\frac{5}{18}•\frac{1}{2}•5•6•sin∠BAC=\frac{25}{6}•\sqrt{1-\frac{1}{25}}$=$\frac{5\sqrt{6}}{3}$；
∴動點P的軌跡所覆蓋圖形的面積為$\frac{10\sqrt{6}}{3}$．
故選A．

點評 考查向量加法的平行四邊形法則，向量數(shù)乘的幾何意義，余弦定理，以及三角形內(nèi)心的定義，三角形的面積公式：S=$\frac{1}{2}absinC$．