Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=

2|x-1|-1，0＜x≤2 1 2 f(x-2)，x＞2

則關(guān)于x的方程6[f（x）]²-f（x）-1=0的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、6
• B、7
• C、8
• D、9

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先設(shè)t=f（x），求出方程6[f（x）]²-f（x）-1=0的解，利用函數(shù)的奇偶性作出函數(shù)在x＞0時(shí)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)t=f（x），則關(guān)于x的方程6[f（x）]²-f（x）-1=0，等價(jià)6t²-t-1=0，
解得t=

1

2

或t=-

1

3

，
當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，此時(shí)不滿足方程．
若2＜x≤4，則0＜x-2≤2，即f（x）=

1

2

f(x-2)=

1

2

（2^|x-3|-1），
若4＜x≤6，則2＜x-2≤4，即f（x）=

1

2

f(x-2)=

1

4

（2^|x-5|-1），
作出當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=

2|x-1|-1，0＜x≤2 1 2 f(x-2)，x＞2

的圖象如圖：
當(dāng)t=

1

2

時(shí)，f（x）=

1

2

對(duì)應(yīng)3個(gè)交點(diǎn)．
∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，由f（x）=-

1

3

，
可得當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=

1

3

，此時(shí)函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)4個(gè)交點(diǎn)，
綜上共有7個(gè)交點(diǎn)，即方程有7個(gè)根．
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)方程根的個(gè)數(shù)的判斷，利用換元法，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．