Question

如圖，在四棱錐C-ABDE中，F(xiàn)為CD的中點，DB⊥平面ABC，BD∥AE，BD=2AE．
（Ⅰ）求證：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）若AB=BC=CA=BD=6，求點A到平面ECD的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取BC中點G點，連接AG，F(xiàn)G，由F，G分別為DC，BC中點，知FG∥BD且FG=

1

2

BD，又AE∥BD且AE=

1

2

BD，故AE∥FG且AE=FG，由此能夠證明EF∥平面ABC．
（Ⅱ）取AB的中點O和DE的中點H，分別以O(shè)C、OB、OH所在直線為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，求出面CDE的法向

n1

=（

3

，-1，2），

AE

=（0，0，3），利用向量法能求出點A到平面CDE的距離．

解答： （1）證明：取BC中點G點，連接AG，F(xiàn)G，
∵F，G分別為DC，BC中點，
∴FG∥BD且FG=

1

2

BD，
又AE∥BD且AE=

1

2

BD，
∴AE∥FG且AE=FG，
∴四邊形EFGA為平行四邊形，則EF∥AG，
又∵AG?平面ABC，EF?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．

（Ⅱ）解：取AB的中點O和DE的中點H，
分別以O(shè)C、OB、OH所在直線為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則C（3

3

，0，0），D（0，3，6），E（0，-3，3），A（0，-3，0），
∴

CD

=（-3

3

，3，6），

ED

=（0，6，3）．
設(shè)面CDE的法向量

n1

=（x，y，z），
則

-3 3 x+3y+6z=0 6y+3z=0

，
取

n1

=（

3

，-1，2）
∵

AE

=（0，0，3），
則點A到平面CDE的距離d=

6

3 3+1+4

=

2

2

．

點評：考查空間想象能力、邏輯思維能力、運算求解能力和探究能力，同時考查學(xué)生靈活利用圖形，借助向量工具解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．是中檔題．