Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOY中，點A（x₁，y₁）在單位圓O上．∠xOA=α且α∈（

π

6

，

π

2

）．
（1）若cos（α+

π

3

）=-

2 2

3

，求y₁的值；
（2）如圖表示，B（x₂，y₂）也是單位圓O上的點，且∠AOB=

π

3

，過點A，B分別作x軸的垂線，垂足為C，D，記△AOC的面積為S₁，△BOD的面積為S₂，設(shè)f（α）=S₁+S₂，求函數(shù)f（α）的最大值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由三角函數(shù)的定義有y₁=sinα，由已知可得sin（α+

π

3

）=

1

3

，從而由y₁=sinα=sin[（α+

π

3

）-

π

3

]利用兩角差的正弦公式即可代入求值．
（2）由y₁=sinα，利用二倍角公式可求得S₁，由定義得x₂，y₂，又由α∈（

π

6

，

π

2

），得α+

π

3

∈（

π

2

，

5π

6

），于是可求S₂，從而由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用可求f（α）=S₁+S₂=

3

4

sin(2α-

π

6

)，由α∈（

π

6

，

π

2

），可得2α-

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得函數(shù)f（α）的最大值．

解答： 解：（1）由三角函數(shù)的定義有y₁=sinα，…2分
∵cos（α+

π

3

）=-

2 2

3

，且α∈（

π

6

，

π

2

）．
∴sin（α+

π

3

）=

1

3

，…4分
∴y₁=sinα=sin[（α+

π

3

）-

π

3

]
=sin（α+

π

3

）cos

π

3

-cos（α+

π

3

）sin

π

3

=

1

2

×

1

3

+

2 2

3

×

3

2

=

1+2 6

6

…6分
（2）由y₁=sinα，得S₁=

1

2

x1y1=

1

2

cosαsinα=

1

4

sin2α，…7分
由定義得x₂=cos（α+

π

3

），y₂=sin（α+

π

3

），
又由α∈（

π

6

，

π

2

），得α+

π

3

∈（

π

2

，

5π

6

），
于是，S₂=-

1

2

x₂y₂=-

1

2

cos（α+

π

3

）sin（α+

π

3

）=-

1

4

sin（2α+

2π

3

）…9分
∴f（α）=S₁+S₂=

1

4

sin2α-

1

4

sin（2α+

2π

3

）=

1

4

sin2α-

1

4

（sin2αcos

2π

3

+cos2αsin

2π

3

）
=

3

8

sin2α-

3

8

cos2α=

3

4

（

3

2

sin2α-

1

2

cos2α）=

3

4

sin(2α-

π

6

)，…11分
由α∈（

π

6

，

π

2

），可得2α-

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
于是當(dāng)2α-

π

6

=

π

2

，即α=

π

3

時，f（α）_max=

3

4

…13分

點評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．