Question

11．已知函數(shù)f（x）=x²-（a-2）x+a-4；
（1）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為4-a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在整數(shù)m，n，使得關(guān)于x的不等式m≤f（x）≤n的解集恰好為[m，n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=x²-（a-2）x+a-4的對(duì)稱軸為x=$\frac{a-2}{2}$，
①當(dāng)$\frac{a-2}{2}$≤1，即a≤4時(shí)，f（x）_min=f（1）=1-（a-2）+a-4=-1=4-a⇒a=5，不滿足a≤4，
②當(dāng)$\frac{a-2}{2}$≥2，即a≥6時(shí)，f（x）_min=f（2）=2-2（a-2）+a-4=4-a=4-a⇒a∈R⇒a≥6符合題意．
③1＜$\frac{a-2}{2}$＜2，即4＜a＜6時(shí)，f（x）_min=f（$\frac{a-2}{2}$）=$\frac{4（a-4）-（a-2）^{2}}{4}$=4-a⇒a=6⇒a∈∅
綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍；a≥6．
（2）假設(shè)存在整數(shù)m，n，使得關(guān)于x的不等式m≤f（x）≤n的解集恰好為[m，n]，即m≤x²-（a-2）x+a-4≤n的解集為{x|m≤x≤n}．可得f（m）=m，f（n）=n．
即x²-（a-2）x+a-4=x的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為m，n．即可得出．m+n=a-1，mn=a-4
⇒m+n=mn+3⇒m（1-n）=3-n，當(dāng)n=1時(shí)，m不存在，舍去，
當(dāng)n≠1時(shí)，m=$\frac{3-n}{1-n}=1+\frac{2}{1-n}$⇒m=-1，n=2或m=0，n=3
存在整數(shù)m，n，m=-1，n=2或m=0，n=3，使得關(guān)于x的不等式m≤f（x）≤n的解集恰好為[m，n]

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-（a-2）x+a-4的對(duì)稱軸為x=$\frac{a-2}{2}$，
①當(dāng)$\frac{a-2}{2}$≤1，即a≤4時(shí)，f（x）_min=f（1）=1-（a-2）+a-4=-1=4-a⇒a=5，不滿足a≤4，
②當(dāng)$\frac{a-2}{2}$≥2，即a≥6時(shí)，f（x）_min=f（2）=2-2（a-2）+a-4=4-a=4-a⇒a∈R⇒a≥6符合題意．
③1＜$\frac{a-2}{2}$＜2，即4＜a＜6時(shí)，f（x）_min=f（$\frac{a-2}{2}$）=$\frac{4（a-4）-（a-2）^{2}}{4}$=4-a⇒a=6⇒a∈∅
綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍；a≥6．
（2）假設(shè)存在整數(shù)m，n，使得關(guān)于x的不等式m≤f（x）≤n的解集恰好為[m，n]，即m≤x²-（a-2）x+a-4≤n的解集為{x|m≤x≤n}．可得f（m）=m，f（n）=n．
即x²-（a-2）x+a-4=x的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為m，n．即可得出．m+n=a-1，mn=a-4
⇒m+n=mn+3⇒m（1-n）=3-n，當(dāng)n=1時(shí)，m不存在，舍去，
當(dāng)n≠1時(shí)，m=$\frac{3-n}{1-n}=1+\frac{2}{1-n}$⇒m=-1，n=2或m=0，n=3
存在整數(shù)m，n，m=-1，n=2或m=0，n=3，使得關(guān)于x的不等式m≤f（x）≤n的解集恰好為[m，n]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、“三個(gè)二次”的關(guān)系，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題