Question

8．已知非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的交角為60⁰，且$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|=1$，則$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$的取值范圍為$（1，\sqrt{3}]$．

Answer 1

分析 首先通過$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$=1平方后結(jié)合基本不等式得到$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|≤1$．然后將$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$平方，展開求出范圍．

解答 解：∵非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的交角為60⁰，且$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|=1$，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1，
所以$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|+1≥2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$，
所以$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|≤1$．
當(dāng)且僅當(dāng)$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|$=1時取等號．
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}+|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$=2$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$+1，
所以1＜2$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$+1≤3
所以$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$的取值范圍為（1，$\sqrt{3}$]；
故答案為：$（1，\sqrt{3}]$．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積定義及其運算性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力和計算能力，屬于難題