Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n，若a_n＞（1024）ⁿ，則n的最小值為8．

Answer 1

分析 化簡可得log₂（a_n+1）=2^n-1，從而可得a_n=${2}^{{2}^{n-1}}$-1，從而可得2^n-1＞10n，從而解得．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n，
∴a₁+1=2，a_n+1+1=a_n²+2a_n+1=（a_n+1）²，
∴l(xiāng)og₂（a₁+1）=1，log₂（a_n+1+1）=2log₂（a_n+1），
∴l(xiāng)og₂（a_n+1）=2^n-1，
∴a_n=${2}^{{2}^{n-1}}$-1，
∴a_n＞（1024）ⁿ可化為${2}^{{2}^{n-1}}$-1＞（1024）ⁿ，
∴${2}^{{2}^{n-1}}$-1＞2¹⁰ⁿ，
∴2^n-1＞10n，
∴n≥8，
故n的最小值為8，
故答案為：8．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用及數(shù)列的應(yīng)用，同時考查了指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．