Question

3．如圖所示，已知二次函數(shù)y=-x²+4x+c的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，并且與函數(shù)y=x的圖象交于O，A兩點(diǎn)．求：
（1）該二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）若一條平行于y軸的直線與線段OA交于點(diǎn)F，與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E，求線段EF的最大長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）二次函數(shù)y=-x²+4x+c的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，把（0，0）代入解析式就可以求出c的值．
（2）解拋物線的解析式與函數(shù)y=x的解析式組成的方程組就可以求出A點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）直線OA的解析式可以利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式，設(shè)E點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x，把x代入拋物線的解析式，以及直線OA的解析式，就可以求出兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，縱坐標(biāo)的差就是EF的長(zhǎng)，EF的長(zhǎng)可以表示成x的函數(shù)．可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．

解答 解：（1）（0，0）代入y=-x²+4x+c，
解得：c=0，
∴y=-x²+4x；
（2）根據(jù)題意得到$\left\{\begin{array}{l}{y={-x}^{2}+4x}\\{y=x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，
則A（3，3）；
 （3）設(shè)此直線為x=a，
則E（a，-a²+4a），F(xiàn)（a，a），
∴EF=-a²+4a-a=-a²+3a=-（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴當(dāng)a=$\frac{3}{2}$時(shí)，EF最大長(zhǎng)度為$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及函數(shù)交點(diǎn)的求法，最值問(wèn)題一般是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．