Question

如圖所示的幾何體中，PB⊥面ABC，PQ∥AB，PQ=PB=1；Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=

1

2

．
（1）求QC與面ABC所成角的正弦值；
（2）過點A且與直線QC垂直的平面AMN與直線PB，PC分別交于點M，N，求線段MN的長度．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,棱錐的結構特征,點、線、面間的距離計算

專題：計算題,空間角,空間向量及應用

分析：以B為原點，分別以BA，BC，BP所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設出A，B，C，P，Q的坐標，
（1）由題設可知

BP

為平面ABC的一個法向量，由向量的夾角公式得到QC與面ABC所成角θ的正弦值為sinθ=|cos＜

CQ

，

BP

＞|，代入計算即可；
（2）設M（0，0，t），則

AM

=（-

1

2

，0，t），由

CQ

•

AM

=0，即可得到M的坐標；又設

PN

=λ

PC

，則N（0，

1

2

λ，1-λ）．由

CQ

•

AN

=0，即可得到N（0，

1

5

，

3

5

），再由空間兩點的距離公式，即可得到所求值．

解答： 解：（1）以B為原點，分別以BA，BC，BP所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則A（

1

2

，0，0），B（0，0，0），C（0，

1

2

，0），P（0，0，1），Q（1，0，1），
由題設可知

BP

為平面ABC的一個法向量，
又

CQ

=（1，-

1

2

，1），

BP

=（0，0，1），
則QC與面ABC所成角θ的正弦值為
sinθ=|cos＜

CQ

，

BP

＞|=|

CQ • BP

| CQ |•| BP |

|=|

1

3 2

|=

2

3

；
（2）設M（0，0，t），則

AM

=（-

1

2

，0，t），
由

CQ

•

AM

=-

1

2

+t=0，即t=

1

2

，M（0，0，

1

2

）；
又設

PN

=λ

PC

=λ（0，

1

2

，-1），則N（0，

1

2

λ，1-λ）．

AN

=（-

1

2

，

1

2

λ，1-λ），由

CQ

•

AN

=-

1

2

-

1

4

λ+1-λ=0，解得λ=

2

5

，
故N（0，

1

5

，

3

5

），
故|MN|=

1 25 +( 3 5 - 1 2 )2

=

5

10

．

點評：本題考查空間直線與平面所成的角的求法，考查空間向量及運用，考查向量的坐標運算能力，屬于中檔題．