Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sin（x+

π

4

）•cos（x+

π

4

）-sin（2x+3π）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若將f（x）的圖象向左平移

π

4

個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用倍角公式及誘導(dǎo)公式化簡，然后由周期公式求周期；
（2）由三角函數(shù)的圖象平移得到函數(shù)g（x）的解析式，結(jié)合x的范圍求得函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）f(x)=2

3

sin(x+

π

4

)•cos(x+

π

4

)-sin(2x+3π)
=

3

sin(2x+

π

2

)+sin2x=sin2x+

3

cos2x
=2(

1

2

sin2x+

3

2

cos2x)=2sin（2x+

π

3

）．
∴f（x）的最小正周期為

2π

2

=π；
（2）由已知得g(x)=f(x+

π

4

)=2sin[2(x+

π

4

)+

π

3

]
=2sin(2x+

π

2

+

π

3

)=2cos(2x+

π

3

)，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
故當(dāng)2x+

π

3

=π，即x=

π

3

時(shí)，g(x)min=g(

π

3

)=-2；
當(dāng)2x+

π

3

=

π

3

，即x=0時(shí)，g(x)max=g(

π

3

)=1．

點(diǎn)評：本題考查了三角恒等變換及其應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了三角函數(shù)的最值，是基礎(chǔ)題．