已知函數(shù)f（x）=alnx+
1
x
-1在x=1處取極值．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在[
1
e
，e2]上的最大值和最小值．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′（x），再利用f'（1）=0即可得出a；
（II）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與區(qū)間端點(diǎn)出的函數(shù)值，即可得出最值．
解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=
ax-1
x2
，（x＞0）．
∵f'（1）=0，
∴
a-1
1
=0，解得a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′(x)=
x-1
x2
，
在[1，e2]上f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；在[
1
e
，1]上f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴（f（x））min=f（1）=0；
又f(
1
e
)=e-2，f(e2)=
1
e2
+1，
∴(f(x))max=f(e2)=
1
e2
+1．
點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某大學(xué)生創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)淘寶項(xiàng)目每月要投入一定的營銷費(fèi)用，已知每投入營銷費(fèi)用k萬元，每月銷售收入大概增加-k2+5k+1萬元．（利潤=增加的銷售收入-投入）
（Ⅰ）若該創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)將本月的營銷費(fèi)用控制在3萬元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少營銷費(fèi)用才能使該項(xiàng)目本月利潤最大．
（Ⅱ）現(xiàn)該創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)本月準(zhǔn)備投入3萬元，分別用于營銷費(fèi)用和產(chǎn)品研發(fā)升級，經(jīng)預(yù)測，產(chǎn)品研發(fā)升級費(fèi)用每投入x萬元增加的銷售收入大概為-
1
3
x3+x2+3x萬元，如何分配該筆資金，使該項(xiàng)目本月利潤最大．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

從5雙不同的鞋子中任取4只，
（1）取出的4只鞋子中至少能配成1雙，有多少種不同的取法？
（2）取出的4只鞋子，任何兩只都不能配成1雙，有多少種不同的取法？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在如圖所示的程序框圖中，當(dāng)輸入實(shí)數(shù)x的值為4時，輸出的結(jié)果為2；當(dāng)輸入實(shí)數(shù)x的值為-2時，輸出的結(jié)果為4．
（l）求實(shí)數(shù)a，b的值，并寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若輸出的結(jié)果為8，求輸入的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，∠A=60°，若|
AC
|+|
AB
|=
3
|
BC
|，試判斷△ABC的形狀．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若3+2i（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于x的方程x2+px+q=0（p，q∈R）的一個根，則q的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將三封信投入4個郵箱，不同的投法有
 
種．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)F1（-
2
，0），F(xiàn)2（
2
，0），動點(diǎn)P滿足|PF2|-|PF1|=2，當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為
1
2
時，點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=
log2(1-x)，x≤0
-f(x+3)，x＞0
，則f（2009）=
 
．

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同步練習(xí)冊答案