Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)在上的最值；

（2）若對(duì)，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，利用極值與最值之間的關(guān)系可求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；

（2）由變形得出，構(gòu)造函數(shù)，可知函數(shù)在上為增函數(shù)，可得出對(duì)任意的恒成立，結(jié)合參變量分離法得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1），則，令，解得.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，即.

又，，所以，.

因此，，；

（2）因?yàn)椋?/span>，等價(jià)于，

令，

因?yàn)?/span>，總有成立，

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增.

問(wèn)題化為對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立.

令，則.

由得，.

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減.

所以，，.

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是：.