【題目】如圖所示,在平面直角坐標系中,已知橢圓的離心率為為橢圓上位于第一象限上的點,為橢圓的上頂點,直線軸相交于點,的面積為6.

)求橢圓的標準方程;

)若直線與橢圓有且只有一個公共點,設(shè)橢圓的兩焦點到直線的距離分別是,試問是否為定值?若是,求出其值;若不是,說明理由.

【答案】;()是定值,4

【解析】

)根據(jù)離心率為的面積為6得到關(guān)于方程組,解方程組即得橢圓的標準方程;

)當直線的斜率不存在時,;當直線的斜率存在時,設(shè),聯(lián)立直線和橢圓方程得到,再化簡即得.綜合得為定值.

解:(,.

,可知的中點,,

,即,

,即,,,

所以橢圓的標準方程為.

)當直線的斜率不存在時,,.

當直線的斜率存在時,設(shè)

聯(lián)立方程組,

消去整理得,

直線與橢圓有且只有一個公共點,

,

,

.

綜合得為定值4.

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