Question

17．已知|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=$\sqrt{2}$，且$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=1，若點C滿足|$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{CB}$|=1，則$\overrightarrow{CA}$$•\overrightarrow{CB}$的取值范圍是[2-$\sqrt{6}$，2+$\sqrt{6}$]，則$\overrightarrow{OC}$$•\overrightarrow{OB}$的取值范圍是[3-$\sqrt{2}$，3+$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$的夾角，建立平面直角坐標系，設出$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$的坐標，判斷C的軌跡．設出C的坐標，利用向量數(shù)量積的公式進行計算即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1，∴$\sqrt{2}×\sqrt{2}$×cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞=1，∴cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{1}{2}$．
∴$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$的夾角為$\frac{π}{3}$．
設$\overrightarrow{OA}=（\sqrt{2}，0）$，$\overrightarrow{OB}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
設$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OD}$．則$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
∴|$\overrightarrow{OD}$|=$\sqrt{6}$，∵|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{CB}$|=1，∴|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$|=1，即|$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{CD}$|=1．
∴C在以D為圓心，以1為半徑的圓上，
則圓的方程為（x-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²=1，
則B（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），A（$\sqrt{2}$，0），
設C（x，y），
則$\overrightarrow{CA}$$•\overrightarrow{CB}$=（x-$\sqrt{2}$，y）•（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）=（x-$\sqrt{2}$，y）•（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）+y（y-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）=（x-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$）²+（y-$\frac{\sqrt{6}}{4}$）²-$\frac{1}{2}$，
則m=（x-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$）²+（y-$\frac{\sqrt{6}}{4}$）²的幾何意義為圓C上的點（x，y）到定點E（$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{6}}{4}$）距離的平方，
則|CE|²=（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$）²+（$\frac{\sqrt{6}}{2}$-$\frac{\sqrt{6}}{4}$）²=（$\frac{3\sqrt{2}}{4}$）²+（$\frac{\sqrt{6}}{4}$）²=$\frac{3}{2}$，
則|CE|=$\sqrt{\frac{3}{2}}$=，
則圓上點到E的距離的最大值d=$\frac{\sqrt{6}}{2}$+1，最小值為$\frac{\sqrt{6}}{2}$-1
則$\overrightarrow{CA}$$•\overrightarrow{CB}$的最大值為d²-$\frac{1}{2}$=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$+1）²-$\frac{1}{2}$=2+$\sqrt{6}$，最小值為d²-$\frac{1}{2}$=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$-1）²-$\frac{1}{2}$=2-$\sqrt{6}$，
即$\overrightarrow{CA}$$•\overrightarrow{CB}$的取值范圍是[2-$\sqrt{6}$，2+$\sqrt{6}$]，
$\overrightarrow{OC}$$•\overrightarrow{OB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{6}}{2}$y，
設z=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{6}}{2}$y，
則$\sqrt{2}$x+$\sqrt{6}$y-2z=0，
則由圓心D（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）到直線$\sqrt{2}$x+$\sqrt{6}$y-2z=0得距離d≤1得，
$\frac{|\frac{3\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}+\sqrt{6}×\frac{\sqrt{6}}{2}-2z|}{\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{6}）^{2}}}$=$\frac{|6-2z|}{2\sqrt{2}}$≤1，
得|z-3|≤$\sqrt{2}$，
即-$\sqrt{2}$≤z-3≤$\sqrt{2}$，
得3-$\sqrt{2}$≤z≤3+$\sqrt{2}$，
即$\overrightarrow{OC}$$•\overrightarrow{OB}$的取值范圍是[3-$\sqrt{2}$，3+$\sqrt{2}$]，
故答案為：[2-$\sqrt{6}$，2+$\sqrt{6}$]，[3-$\sqrt{2}$，3+$\sqrt{2}$]

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，建立平面直角坐標系，判斷C點軌跡是關鍵，設出C的坐標，利用向量數(shù)量積的公式進行運算是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．