Question

6．已知函數(shù)h（x）=lnx-x-$\frac{m}{x}$有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）寫出函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間（用x₁，x₂表示，不需要說明理由）；
（2）如果函數(shù)F（x）=h（x）+$\frac{1}{2}$x在（1，b）上為增函數(shù)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系直接寫出即可．
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的極值點(diǎn)，求出m的范圍，再題意得到F′（x）＞0，在（1，b）上恒成立，求導(dǎo)，分離參數(shù)得到m＞$\frac{1}{2}$x²-x，即求出m的最小值大于g（x）的最大值即可．

解答 解：（1）h（x）=lnx-x-$\frac{m}{x}$，x＞0，
∴h′（x）=$\frac{1}{x}$-1+$\frac{m}{{x}^{2}}$=$\frac{-{x}^{2}+x+m}{{x}^{2}}$，
∵h(yuǎn)′（x）=0的兩個(gè)根為x₁，x₂，且x₁＜x₂，
∴h（x）在（x₁，x₂）函數(shù)單調(diào)遞增，在（0，x₁）和（x₂，+∞）單調(diào)遞減，
（2）∵h(yuǎn)（x）=lnx-x-$\frac{m}{x}$有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，
∴h′（x）=0的兩個(gè)根為x₁，x₂，且x₁＜x₂，
$\left\{\begin{array}{l}{△=1+4m＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=1＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-m＞0}\end{array}\right.$
解得-$\frac{1}{4}$＜m＜0，
∵函數(shù)F（x）=h（x）+$\frac{1}{2}$x在（1，b）上為增函數(shù)，
∴F′（x）＞0，在（1，b）上恒成立，
∴$\frac{1}{x}$-1+$\frac{m}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{2}$＞0，
∴m＞$\frac{1}{2}$x²-x，
設(shè)g（x）=$\frac{1}{2}$x²-x=$\frac{1}{2}$（x-1）²-$\frac{1}{2}$，
∴g（x）在（1，b）上為增函數(shù)，
∴-$\frac{1}{4}$≥$\frac{1}{2}$b²-b，
解得1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤b≤1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵b＞1，
∴b的取值范圍為（1，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題為導(dǎo)數(shù)、不等式的綜合，主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查考生的計(jì)算能力及分析問題、解決問題的能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．